No me parece que la matemática dependa en algún modo de la lógica. La matemática razona, desde luego. Pero cuando el matemático vacila o yerra en su razonamiento la lógica no puede acudir en su ayuda. Aún más fácilmente cometería el matemático errores análogos y otros más en lógica. Por el contrario, lo que sí creo es que la lógica no puede conseguir la solución de sus problemas sin un amplio uso de la matemática. En realidad, toda la lógica formal es simplemente matemática aplicada a la lógica. Benjamin Peirce, cuyo hijo me precio de ser, fue el primero en definir la matemática, en 1870, como “la ciencia que obtiene conclusiones necesarias”. La definición era cosa insólita en aquella época; pero hoy los estudiosos de fiosofía de la matemática reconocen en general la sustancial corrección de esa fórmula.
En cambio, la definición corriente entre profesores y maestros de escuela sigue siendo que la matemática es la ciencia de la cantidad. Tal como inevitablemente suena esta definición en inglés, parece ser una mala comprensión de una definición probablemente muy antigua cuyo sentido original era que la matemática es la ciencia de las cantidades, es decir, de las formas que poseen cantidad. Por otra parte sabemos que Euclides ha comprendido que una gran rama de la geometría no tiene nada que ver con medición alguna (salvo que utilice mediciones como un expediente demostrativo); por tanto, un geómetra griego de su época (comienzos del siglo III a. C.) o posterior no podía definir la matemática como la ciencia de lo expresado por el nombre abstracto cantidad. Sin embargo, Aristóteles y sus seguidores clasificaban la línea como una cantidad o quantum, de tal modo que incluso la perspectiva (que no trata más que de intersecciones y proyecciones, en absoluto de longitudes) podía considerarse como una ciencia de las cantidades, entendiendo “cantidad” en ese sentido concreto. Éeste es el significado originario de la definición “la matemática es la ciencia de la cantidad”, como muestra suficientemente la circunstancia de que los autores que han sido los primeros en enunciarla, hacia el año 500 d. C., Ammonio Hermias y Boecio, hacen de la astronomía y de la música ramas de la matemática, así como por la razón que dan para hacerlo. Incluso Filón de Alejandría (100 a. C.), que define la matemática como la ciencia de las ideas suministradas por la sensación y la reflexión respecto de sus necesarias consecuencias, toma, según debemos reconocer, la palabra ‘matemática’ en un sentido distinto del nuestro, pues incluye en ella, además de sus partes más esenciales, que son la teoría de los números y la geometría, también la aritmética práctica de los griegos, la geodesia, la mecánica, la óptica (o geometría proyectiva), la música y la astronomía. De varios modos puede probarse que Aristóteles no concebía la matemática como la ciencia de la cantidad en nuestro moderno sentido abstracto. Los temas de la matemática son, según él, el cuánto y el continuo. Luego refiere el continuo a su categoría de quantum y por tanto hace del quantum en un sentido amplio el objeto de la matemática.
En el sexto libro de la República de Platón sostiene que el carácter esencial de la matemática consiste en la naturaleza y grado peculiares de su abstracción, que es mayor que la de la física, pero menor que la abstracción de lo que hoy llamamos filosofía; y Aristóteles sigue a su maestro en esta definición. Desde entonces ha sido siempre costumbre de los metafísicos el enaltecer sus propios razonamientos y conclusiones como mucho más abstractos y científicos que los de los matemáticos. Y sin duda parece que los problemas acerca de Dios, la Libertad y la Inmortalidad son más elevados, por ejemplo, que la cuestión de cuántas horas, minutos y segundos pasarán antes de que se encuentren dos correos que viajan en determinadas condiciones; de todos modos, no sé que se haya demostrado nunca esa mayor dignidad. Pero la idea de que los métodos intelectuales de los metafísicos no son, como hechos históricos, muy inferiores en todos los aspectos a los de la matemática, no es más que vana fatuidad. Una curiosa consecuencia de esa noción, que ha prevalecido durante gran parte de la historia de la filosofía y según la cual el razonamiento metafísico debe ser como el matemático, pero en más, ha sido que varios matemáticos se han creído, por el hecho de ser matemáticos, cualificados para discutir de filosofía; y no hay peor metafísica que la suya.
Kant entendía las proposiciones matemáticas como juicios sintéticos a priori; en esa concepción hay un elemento de verdad, a saber: que en su mayor parte esas proposiciones no son lo que él llamaba juicios análiticos, es decir, que su predicado no está contenido en la definición del sujeto en el sentido entendido por Kant. Pero el que las proposiciones de la aritmética, por ejemplo, sean conocimientos verdaderos, e incluso formas de conocimiento, es una circunstancia que no tiene que ver con su verdad matemática. Todos los matemáticos modernos coinciden con Platón y Aristóteles en que la matemática trata exclusivamente de situaciones hipotéticas, y no afirma nada fáctico, y también en que sólo de este modo puede explicarse el carácter necesario de sus conclusiones. Tal es la verdadera esencia de la matemática; y la definición de mi padre es correcta en la medida en que es imposible razonar con resultados necesarios acerca de cualquier cosa si no es por vía puramente hipotética. Naturalmente que con eso no quiero decir que si una pura hipótesis tal resulta verdadera para una efectiva situación real, el razonamiento vaya a dejar por eso de ser necesario. Lo que sí ocurre es que jamás se sabrá apodícticamente que sea verdadero para alguna situación real. Supongamos una situación de descripción general perfectamente definida. Y supongamos además que esa descripción no hace referencia a nada oculto, a nada que no pueda presentarse íntegramente a la imaginación. Tomemos entonces una serie de posibilidades igualmente definidas e igualmente sujetas a la imaginación, de tal modo que, en la medida en que la descripción dada es general, las diferentes maneras de determinarla no puedan introducir en ningún caso rasgos dudosos u ocultos. El supuesto no debe referirse a ninguna cuestión fáctica concreta, porque esas no caen dentro del alcance de la imaginación. Ni tampoco puede ser tal que, por ejemplo, pueda llevarnos a preguntar si la vocal oo puede imaginarse pronunciada como un sonido más alto que la vocal ee. Tal vez lo mejor fuera reducirlo a relaciones puramente espaciales, temporales y lógicas. Cualquiera que sea el caso, la cuestión de si, dada esa situación, otra situación análogamente definida, que sea también asunto de la imaginación, puede o no ocurrir en el supuesto campo de posibilidades, será tal que las dos respuestas, Sí y No, una de las dos, pero no ambas, será verdadera. Mas todos los hechos significativos caen, según nuestro supuesto, en el dominio de la imaginación; consiguientemente, lo único necesario para suministrar la contestación verdadera es la operación del pensamiento. Y suponiendo que la respuesta cubra todo el campo de posibilidades admitido, ello no puede ocurrir sino por un razonamiento apodíctico, general y exacto. De ello no resultará por tanto ningún conocimiento acerca de lo que realmente es, o sea ningún conocimiento positivo. A la inversa, afirmar que una fuente cualquiera de información restringida a hechos reales pueda suministrarnos un conocimiento necesario, esto es, relativo a todo un campo general de posibilidades, sienta una trivial contradicción en los términos.
La matemática es el estudio de lo verdadero de las situaciones hipotéticas. Ésta es su esencia y su definición. Por tanto, todo en ella, excepto los primeros preceptos para la construcción de las hipótesis, tiene que ser de la naturaleza de la inferencia apodíctica. Sin duda podemos razonar imperfectamente y saltar sin justificación a una conclusión; pero aun así la conclusión conseguida no significa en todo caso sino que dada cierta situación real, algo sería necesariamente verdadero. A la inversa, toda inferencia apodíctica es, hablando estrictamente, matemática. Pero la matemática, como ciencia seria, tiene, por encima de su carácter esencial, el ser hipotética, una peculiaridad característica accidental -un proprium, como decían los aristotélicos- que presenta el mayor interés lógico. Se trata de lo siguiente: aunque todos los “filósofos” siguen a Aristóteles en la doctrina de que la única demostración plenamente satisfactoria es la que llaman directa, o demostración quia o de por qué -una demostración que no usa más que conceptos generales y no concluye sino algo que quedaría absorbido por una definición si todos sus términos estuvieran precisa y explícitamente definidos-, los matemáticos, por el contrario, desprecian ese estilo de razonamiento y aprecian la demostración que los filósofos estigmatizan como “meramente” indirecta, o demostración quod o del qué. Los matemáticos enuncian como simples corolarios las proposiciones que pueden deducirse de otras por el tipo de razonamiento glorificado por los filósofos. Son, en efecto, como esas verdades geométricas que Euclides no consideró dignas de mención especial y que sus editores añadieron a su texto, intercalándolas con una coronita o corola al margen, para significar tal vez que se les debía el modesto honor que correspondiera a la introducción de tan insignificantes observaciones. Pero para demostrar los teoremas, o, por lo menos, los teoremas principales, se requiere otro tipo de razonamiento. Aquí no basta con limitarse a términos generales. Hace falta sentar o imaginar algún esquema o diagrama particular y determinado: en geometría, alguna figura compuesta por líneas nombradas por letras; en álgebra alguna disposición de letras en la que se repiten una o varias. Este esquema se construye de tal modo que sea conforme con alguna hipótesis enunciada en términos generales en la tesis del teorema. El matemático se esfuerza por construir el esquema o diagrama de tal modo que en cualquier situación posible pueda admitirse la existencia de algo muy parecido y a lo cual puede aplicarse la descripción hipotética contenida en la tesis del teorema; y también se esfuerza por construirlo de tal modo que no contenga otras características que puedan influir en el razonamiento. Una de las cuestiones que tendremos que considerar es la siguiente: ¿cómo puede ser que aunque el razonamiento se basa en el estudio de un esquema particular resulte al mismo tiempo necesario, es decir, aplicable a todos los casos posibles? Por ahora deseo más bien precisar que una vez construido el esquema según el precepto virtualmente contenido en la tesis, la afirmación del teorema no es evidentemente verdadera ni siquiera para ese esquema; ni tampoco conseguirá hacerlo evidente todo el pensamiento corolario de los filósofos. No basta con pensar en términos generales. Es necesario hacer algo. En geometría, se dibujan líneas auxiliares. En álgebra se practican transformaciones permitidas. A continuación entran en juego las facultades de observación. Se percibe alguna relación entre las partes del esquema. ¿Subsistirá esa relación en todo caso posible? Un pensamiento meramente corolario nos garantizará algunas veces una respuesta positiva. pero, en general, puede ser necesario dibujar diferentes esquemas que representen diferentes posibilidades alternativas. El razonamiento teoremático depende siempre de la experimentación con esquemas particulares. Veremos en última instancia que en realidad lo mismo puede decirse del pensamiento corolario, incluida la demostración aristotélica del porqué. Sólo que en este caso son las mismas palabras las que sirven de esquema. Por eso podemos decir que el razonamiento corolario o filosófico es razonamiento con palabras, mientras que el razonamiento teoremático o matemático propiamente dicho es razonamiento con esquemas especialmente construidos.
Otra característica del pensamiento matemático es el peculiar uso que hace de la abstracción. Las abstracciones han sido en los tiempos modernos blanco preferido de burlas. Sin duda es muy fácil reírse del viejo médico que, contestando a la pregunta de por qué duerme el opio, se nos presenta con la respuesta de que lo hace porque tiene una virtud dormitiva. Ésta es una respuesta que lleva sin duda la vaguedad hasta el último extremo concebible. Pero, pese a estar inventada la historia precisamente para mostrar la poca significación que hay en las abstracciones, sin embargo la respuesta del viejo médico contiene un grano de verdad que la filosofía moderna ha ignorado por lo general: esa respuesta afirma que realmente hay en el opio algo que explica el hecho de que siempre adormezca a la gente. Digo que los filósofos modernos en general han negado eso. No explícitamente, desde luego; pero cuando dicen que los diferentes hechos de las diversas personas que se duermen después de tomar opio no tienen en realidad nada en común, salvo el que nuestro espíritu los ha clasificado juntos -y esto es lo que están diciendo virtualmente cuando niegan la realidad de los universales-, están negando implícitamente que exista una verdadera explicación del efecto dormitivo del opio.
Repásense los modernos tratados de lógica y se comprobará que casi todos ellos caen en uno u otro de dos errores (según mi punto de vista): el de eliminar la doctrina de la abstracción (en el sentido en el cual un nombre abstracto indica una abstracción) como asunto meramente gramatical que no tiene por qué preocupar al lógico; y el de confundir la abstracción en este sentido con la operación mental por la cual prestamos atención a un rasgo de una percepción pasando por alto los otros. Estas dos cosas no tienen ninguna relación entre sí. El hecho de percepción más trivial, como “se ve”, supone ya una abstracción precisiva, una prescisión, como también diremos. Pero la abstracción hipostática, la abstracción que transforma “se ve” en “aquí hay luz” -sentido en el que usaré generalmente la palabra abstracción (reservando prescisión para la abstracción precisiva)- es un modo de pensamiento muy especial. Consiste en tomar un rasgo de uno o varios perceptos (luego de haber prescindido de los demás) de tal modo que tome forma proposicional en un juicio (y pueda, en realidad, operar en cualquier juicio) y en entender este hecho como la relación entre el sujeto de ese juicio y otro sujeto, cuyo modo de ser consiste exclusivamente en la verdad de proposiciones cuyo predicado es el correspondiente término concreto. Así transformamos la proposición “la miel es dulce” en “la miel posee dulzura”. En cierto sentido puede decirse que la “dulzura” es algo ficticio. Pero como el modo de ser que se les atribuye no consiste más que en el hecho de que algunas cosas son dulces, y no se pretende ni se imagina que tenga otro modo de ser, no hay, en definitiva, ficción alguna. Lo único afirmado es que consideramos el hecho de que la miel es dulce como una relación; y podemos hacerlo perfectamente. He tomado el ejemplo de la dulzura entre las abstracciones menos útiles. Pero hasta ella sirve para algo: facilita ideas como la de que la dulzura de la miel es particularmente empalagosa, o que la dulzura de la miel se parece a la de una luna de miel, etc. Las abstracciones son particularmente connaturales a la matemática. Ya en la vida cotidiana, por ejemplo, se encuentra la necesidad de la clase de abstracciones a las que llamamos colecciones. En vez de decir que unos seres humanos son machos y el resto hembras se creyó conveniente decir que el género humano consta de una parte masculina y otra parte femenina. El mismo tipo de pensamiento construye clases de colecciones, como pares, tríos, cuartetos, manos, semanas, docenas, sonetos, veintenas, resmas, centenares, gruesas, miles, decenas de mil, millones, billones, etc. Abstractos de ese tipo han sugerido toda una gran rama de la matemática. Otro ejemplo es un punto que se mueve: sólo por abstracción dice el geómetra que ese punto “describe” una línea. Esta línea, aunque no es más que una abstracción, se mueve a su vez, y se entiende que engendra una superficie; y así sucesivamente. Cuando el analista trata operaciones como ulterior objeto de otras operaciones, método cuya utilidad no niega nadie, suministra otro ejemplo de abstracción. Bastante análoga es la noción de Maxwell de la tensión transversal ejercida sobre líneas de fuerzas eléctricas. Esos ejemplos muestran el gran olejae de la abstracción en el océano del pensamiento matemático; pero cuando entramos en un examen detallado del mismo hallamos en cada departamento constantes ondulaciones menores de esa misma forma de pensamiento, las cuales no pueden considerarse ejemplificadas por lo anterior.
Otra característica del pensamiento metamático es que no puede tener éxito si no puede generalizarse. No se puede negar, por ejemplo, que el ajedrez es matemática en un cierto sentido; pero, a causa de las excepciones particulares con que el matemático tropieza por todas partes en él -los límites del tablero, los particulares movimientos del rey, el caballo y el peón, el número finito de casillas, el particular modo de matar de los peones, el enroque, etc.-, resulta una matemática de alas cortadas, que no puede sino corretear por el suelo. Por eso el matemático busca y halla frecuentemente lo que un jugador de ajedrez podría llamar un gambito a su favor, es decir, el cambio de un problema reducido que supone excepciones particulares por un problema más amplio y libre de ellas. Así, por ejemplo, en vez de suponer que las líneas paralelas, a diferencia de todos los demás pares de líneas de un plano, no se cortan nunca, puede suponer que se cortan en el infinito. En vez de suponer que algunas ecuaciones tienen raíces y otras no, puede complementar la cantidad real con el reino infinitamente mayor de la cantidad imaginaria. Así nos dice también muy fácilmente cuántas inflexiones tiene una curva plana de cualquier descripción; pero si le preguntamos cuántas de esas inflexiones son reales y cuántas meramente ficticias será incapaz de contestarnos. El matemático queda molesto en el espacio tridimensional porque en él no se cortan todos los pares de líneas, y entonces descubre para ventaja suya el uso de cuaterniones, que representan una especie de continuo cuatridimensional, para evitar esa execepción. Precisamente porque las excepciones obstaculizan tanto su trabajo, casi todas las relaciones con que se decide a trabajar el matemático son del tipo de las correspondencias, es decir, relaciones en las cuales para todo relatum hay el mismo número de correlata y para todo correlatum el mismo número de relata.
Entre las características menores, pero muy llamativas, de la matemática pueden citarse la desnudez y el carácter esquelético de sus proposiciones; la peculiar dificultad, complicación y tensión de sus razonamientos; la perfecta exactitud de sus resultados; su amplia universalidad; su infalibilidad práctica. Es fácil hablar con precisión de cualquier tema general, pero con la condición de abandonar la pretensión de decir ciertas cosas. También es fácil decir cosas ciertas, pero con la condición de que sean suficientemente vagas. No es muy difícil ser bastante preciso y bastante cierto al mismo tiempo hablando de un tema que sea muy particular. Pero lo notable es reunir, como hace la matemática, la exactitud perfecta y la infalibilidad práctica con una universalidad sin restricciones. Por otro lado, no es difícil ver que todos esos caracteres de la matemática son consecuencias inevitables de su naturaleza de estudio de la verdad hipótetica.
Es difícil decidir entre las dos definiciones de la matemática, la que define por su método -que consiste en obtener consecuencias necesarias- y la que define por su objetivo y su objeto, como el estudio de situaciones hipotéticas. La primera hace o parece hacer de la deducción de las consecuencias de hipótesis el único tema de la matemática como tal. Pero no puede negarse que grandes genios se han dedicado a la previa y mera construcción de tales hipótesis generales, como el campo de la cantidad imaginaria y la idea relacionada de la superficie de Riemann, la medición no euclideana, los números ideales, el líquido perfecto, etc. Ya la mera construcción de las particulares hipótesis de problemas especiales y concretos requiere siempre buen juicio y conocimiento, y a veces una gran potencia intelectual, como en el caso del álgebra lógica de Boole. ¿Vamos a excluir este tipo de trabajo del dominio de la matemática? Tal vez la respuesta pueda ser que, en primer lugar, cualquiera que sea el ejercicio intelectual necesario para aplicar la matemática a una cuestión no propuesta en forma matemática, no se tratará, ciertamente, de pensamiento matemático puro; y, en segundo lugar, que la mera creación de una hipótesis puede ser una gran obra de genio poético o creador, pero no puede decirse que sea científica, en la medida en que lo que produce esa creación no es ni verdadero ni falso y, por tanto, no es conocimiento. Esta respuesta sugiere la observación ulterior de que si la matemática es el estudio de situaciones puramente imaginarias, los poetas tienen que ser grandes matemáticos, especialmente los que escriben composiciones de argumentos intrincados y enigmáticos. Quizá ni la réplica, sin duda obvia, que por estudio de situaciones imaginarias entendemos estudio de lo que es verdadero de ellas, refuta plenamente la objeción. El artículo Mathematics de la novena edición de la Encyclopaedia Britannica presenta la matemática como consistente en el estudio de una determinada clase de hipótesis, a saber, las que son exactas, etc., como puede verse con detalle en dicho texto. Este artículo es muy digno de consideración.
El matemático y filósofo Richard Dedekind sostiene que la matemática es una rama de la lógica. Esto no resulta de la definición de mi padre, la cual significa no que la matemática sea la ciencia de la obtención de conclusiones necesarias -lo cual sería una definición de la lógica deductiva-, sino la ciencia que obtiene conclusiones necesarias. Es evidente, y puedo dar fe de ello como testigo, que él tenía presente esta distinción. En la época en que elaboró esa definición, él, como matemático, y yo, como lógico, sosteníamos discusiones diarias acerca de un amplio tema que nos interesaba a los dos; y a los dos nos llamaba la atención la oposición de las razones por las cuales ambos nos interesábamos por las mismas proposiciones. El lógico no se interesa particularmente por tal o cual hipótesis o sus consecuencias, excepto en la medida en que puedan arrojar alguna luz sobre la naturaleza del razonamiento. El matemático se interesa intensamente por métodos de razonamiento eficaces, considerando su posible ampliación a nuevos problemas; pero, qua matemático, no se molesta en analizar detalladamente las partes de su método cuya corrección es cosa admitida. Los diferentes aspectos que toma el álgebra de la lógica para las dos profesiones es instructiva a este respecto. El matemático se pregunta qué valor tiene esa álgebra en tanto que es cálculo. ¿Puede aplicarse para desenmarañar una cuestión complicada? ¿Producirá rápidamente alguna consecuencia remota? Al lógico no le interesa que ese álgebra tenga tal carácter. Por el contrario, el mayor número de pasos lógicos distintos en que el álgebra de la lógica descompone la inferencia constituye para él una superioridad respecto de otros cálculos que avancen más rápidamente hasta la conclusión. Lo que el lógico pide es que esa álgebra analice un razonamiento hasta sus pasos más elementales. Así pues, lo que para uno de esos dos profesionales es un mérito del álgebra lógica es un defecto para el otro. El uno estudia la ciencia de la obtención de conclusiones, el otro la ciencia que obtiene conclusiones necesarias.
Pero en realidad la diferencia entre las dos ciencias es mucho más importante que la de dos punto de vista diversos. La matemática es puramente hipotética; no produce sino proposiciones condicionales. La lógica, por el contrario, es categórica en sus afirmaciones. Desde luego que no es meramente, ni siquiera principalmente, un simple descubrimiento de lo que existe, como la metafísica. La lógica es una ciencia normativa. Por eso tiene un notable carácter matemático, por lo menos en su parte metódica, porque en ella analiza el problema de cómo debe alcanzarse un fin con medios dados. Pero, a lo más, esto quiere decir que la lógica debe recurrir a la ayuda de la matemática, que la lógica tiene una rama matemática. Cosa que puede decirse de cualquier ciencia. Hay una lógica matemática igual que hay una óptica matemática y una economía matemática. La lógica matemática es lógica formal. La lógica formal, se desarrolle como se quiera, es matemática. Pero la lógica formal no es en modo alguno toda la lógica, ni siquiera su parte principal. Hasta es discutible si debe considerarse como parte de la lógica propiamente dicha. La lógica tiene que definir su objetivo, y al hacerlo resulta depender más de la ética o de la filosofía de los fines que de la matemática en su parte metódica. Pronto entenderemos por qué y cómo un estudioso de ética podría sentirse tentado a hacer de su ciencia una rama de la lógica, tal como casi ocurrió a Sócrates. Pero esta solución no sería más verdadera que la otra. La lógica depende de la matemática; aún más íntimamente depende de la ética; pero su interés específico se refiere a verdades que no están incluidas ni en una ni en otra. Hay dos caracteres de la matemática que no hemos mencionado hasta ahora porque no son características exclusivamente suyas. Uno de ellos, en el que no necesitamos detenernos, es que la matemática se distingue de todas las demás ciencias, excepto de la ética, por el hecho de no necesitar el concurso de ésta. Toda otra ciencia, incluso la lógica -sobre todo una lógica- se encuentra en sus primeros estadios en peligro de evaporarse en nada, de degenerar, como dicen los alemanes, en membrana aracnoide [?], filigrana de la materia de la que se hacen los sueños. La matemática pura no tiene ese peligro, porque eso es precisamente lo que ella tiene que ser.
El otro carácter -y de particular interés para nosotros en este momento- es que la matemática, junto sólo con la ética y la lógica, no tiene necesidad de apelar a esta última. Sin duda más de un lector protestará al leer esto. La matemática, puede decir, es principalmente una ciencia del razonamiento. Y es efectivamente una ciencia que ante todo razona. Pero del mismo modo que para hablar no es necesario conocer la teoría de la formación de las vocales, así tampoco es necesario para razonar poseer la teoría del razonamiento. Es claro que en otro caso no habría podido desarrollarse nunca la ciencia de la lógica. Más admisible sería otra objeción, a saber, que ninguna ciencia tiene necesidad de la lógica, sino que basta con nuestra natural capacidad de razonar. Si se hace de la lógica lo que han hecho de ella la mayoría de los tratados en el pasado y aún siguen haciendo muchos libros ingleses y franceses -a saber, principalmente lógica formal y presentada como un arte del razonamiento-, entonces en mi opinión esa objeción está más que fundada, porque esa lógica es propiamente un gran obstáculo contra el razonamiento correcto. Pero se sale de nuestro actual objeto el considerar detalladamente esa objeción. me contentaré con decir que sin duda nuestra natural capacidad de razonar es suficiente, en el mismo sentido en que es suficiente para que haya telegrafía sin hilos el que haya existido el género humano. Es decir, en esas circunstancias, la telegrafía sin hilos iba a llegar un día u otro. Pero este hecho no ha evitado la necesidad de estudiar la naturaleza de la electricidad para obtener esa telegrafía. Análogamente, si el estudio de la electricidad se hubiera llevado adelante resueltamente sin especial atención a la matemática, las ideas matemáticas que hoy sabemos necesarias para su estudio se habrían producido en un momento u otro. De hecho Faraday las consiguió sin tener ninguna cultura matemática. Pero habría sido mucho más económico el retrasar el estudio de la electricidad, estudiar la matemática por sí misma y luego aplicarla a la electricidad, que es el camino recorrido por Maxwell. Del mismo modo, las diversas dificultades lógicas que surgen en el curso de toda ciencia, excepto la matemática, la ética y la lógica, se superarán sin duda un día u otro aunque no se haga ningún estudio especial de la lógica. Pero sería mucho más económico dedicarse antes a un estudio sistemático de la lógica. Y si alguien pregunta cuáles son esas dificultades lógicas que surgen en las ciencias, será que ha leído la historia de éstas con bastante descuido. ¿Qué fue la célebre controversia sobre la medición de la fuerza sino una dificultad lógica? ¿Y qué la controversia entre los uniformistas y los catastrofistas sino un problema acerca de si una conclusión dada se seguía o no de ciertas premisas aceptadas? […] Pero puede preguntarse si la matemática, la ética y la lógica no han tropezado con dificultades parecidas. ¿Están realmente consolidadas de un modo definitivo las doctrinas de la lógica? ¿Es la historia de la ética algo más que la historia de una controversia? ¿No han cometido los matemáticos errores lógicos? Contestaré a esto, primero, en cuanto se refiere a la lógica, que no sólo los autores comunes de lógica han sido, como declara el eminente psiquiatra Maudsley, hombres de cerebro insuficientemente desarrollado, y no sólo han carecido en general de la calificación fundamental para ese estudio, a saber, entrenamiento matemático, sino, además, que la principal razón por la que la lógica no se encuentra bien asentada es que existen muchas opiniones diferentes sobre el verdadero objetivo de esta ciencia. Y ello no constituye una dificultad lógica, sino ética, pues la ciencia de los fines es la ética. Segundo: es verdad que la ética pura ha sido y tiene que ser siempre un teatro de discusiones, por la razón de que su estudio consiste en el desarrollo gradual de una identificación clara de una finalidad satisfactoria. No hay duda de que es una ciencia de sutilezas; pero lo que realmente crea y resuelve el problema de la ética no es la lógica, sino el desarrollo del ideal. Tercero: en la matemática se han producido errores de razonamiento, y hasta han resistido milenios sin ser criticados. Pero la causa de ello es simplemente que no se notaron. En ningún momento en la historia de la ciencia ha dejado de recibir respuesta expedita y unánime, una vez planteada, pregunta alguna acerca de si una conclusión dada se seguía o no matemáticamente de premisas dadas. Hasta las excepciones aparentes son muy pocas, y esas pocas se deben al hecho de que hasta la segunda mitad del siglo pasado los matemáticos no han llegado a identificar con precisión lo que es terreno matemático y lo que es ajeno a su ciencia. Tal vez lo más parecido a una excepción a lo dicho fue la discusión acerca del uso de series divergentes. Y en este caso ninguna de las dos partes contaba con suficientes razones matemáticas puras para cubrir todo el terreno en discusión; las razones de que disponían eran además de naturaleza extramatemática y, por si esto fuera poco, se utilizaron para sostener posiciones bastante vagas. Al final resultó, como sabemos, que las series divergentes son de suma utilidad.
Animados por esta circunstancia y basándose en una inferencia de la que basta decir que no era matemática, muchos viejos matemáticos llevaron el uso de las series divergentes más allá de lo razonable. La disputa al respecto nos presenta a los matemáticos discutiendo la validez de un tipo de inferencia que no era matemático. Sin duda, una lógica consistente (que no ha sido desarrollada hasta ahora) habría mostrado claramente que aquella inferencia no matemática no era coherente. Pero me parece que éste es el único ejemplo de una parte considerable del mundo matemático dispuesta a basarse en un razonamiento extramatemático. Yo afirmo que el razonamiento matemático verdadero es de evidencia tan superior a la que puede para cualquier doctrina de la lógica propiamente dicha -sin ese razonamiento- que la apelación de la matemática a la lógica no haría más que oscurecer la situación. Por el contrario, las dificultades que pueden surgir a propósito del razonamiento necesario deben ser resueltas por el lógico mediante su reducción a cuestiones de matemática. Y, como veremos claramente, es el lógico el que tiene que basarse en estos dicta matemáticos.
Charles S. Peirce (1902)
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