El Número de Oro

Este artículo lo escribí hace un tiempo para una Ezine y me pareció interesante publicarlo en la web. Salió publicado en el primer número de Hispabyte Ezine en Noviembre del 2004.

El Número de Oro

Si tuviéramos que representar la belleza en una expresión lo haríamos con el número de oro, así lo han pensado múltiples civilizaciones, como la egipcia o la griega. El número se representa con la letra griega Φ (Fi) y tiene un valor de de Φ=1,6180339887498… El número de oro tiene infinita cifras decimales, aunque no periódicas, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. El número de oro se extrae de una raíz de la siguiente ecuación polinómica de segundo grado:

El número de oro desde que el mundo es mundo ha estado representado en la naturaleza. Infinitas aplicaciones matemáticas tiene el número de oro. Una de ellas, el arte y diseño.

Rectángulo Áureo

El rectángulo áureo es utilizado para infinidad de elementos de nuestro entorno cotidiano, cómo tarjetas de crédito, cajas de tabaco,… incluso nuestro DNI está diseñado a partir del número de oro, o cómo se denomina en éste caso, la proporción áurea. Además, se ha utilizado la proporción áurea en distintas civilizaciones aplicándose por ejemplo a monumentos griegos, cómo el Partenón, o pirámides egipcias como La Gran Pirámide de Keops, la cual si dividimos su altura y la partimos entre su lado obtenemos 2Φ.

Para construir un rectángulo de áureo simplemente tenemos que partir como base un cuadrado perfecto y marcar el punto intermedio de un lado de éste. Debemos de trazar un segmento desde el punto intermedio del lado hasta uno de los vértices opuestos. Ese segmento nos servirá de cuerda para trazar un arco que definirá el rectángulo áureo.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci también posee cierta relación con el número de oro. Expliquemos antes en que consiste dicha sucesión. A partir de la sucesión de Fibonacci podemos obtener la suma de dos elementos consecutivos anteriores.

La serie de Fibonacci parte de 1 para el primer elemento. Estos son los primeros elementos de la sucesión:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Si queremos saber el elemento 5 de la serie Fibonacci sería sumar los dos anteriores, Fib(5)=3+5=8, por lo tanto el elemento 5 tiene un valor de 8. La sucesión se extrae del siguiente modo:

T1=> 1
T2=> 1
T3=> 1+1=2
T4=> 1+2=3
T5=> 2+3=5
T6=> 3+5=8
T7=> 5+8=13
T8=> 8+13=21
T9=>13+21=34
…………
Tn=> Fib(n-2)+Fib(n-1)=Fib(n)

Cómo podemos observar los dos primeros términos se consideran un 1, pues para sacar un elemento de la serie Fibonacci se necesitan dos elementos anteriores. Por lo tanto se empieza a contar desde el término 3.

La relación con el Número de Oro se obtiene al realizar el cociente entre dos elementos consecutivos de la serie Fibonacci. Cuando obtengamos el resultado del cociente de dos términos consecutivos, mientras mayores sean los términos que seleccionemos, ese resultado se acercará más al Número de Oro. Me explico:

1/1=1
2/1=2
3/2=1,5
5/3=1,6666…
8/5=1,6
13/8=1,625
21/13=1,6143…
34/21= 1,6190…
55/34=1,6176…
89/55=1,6181…

Cómo podemos observar, sucesivamente vamos obteniendo un número más cercano al Número de Oro. Con esto podemos deducir que el límite del cociente de de un termino con el anterior cuando tiende a infinito es el Número de Oro.

Aplicaciones del Número de Oro con la sucesión de Fibonacci

Con los elementos de la serie Fibonacci podemos obtener múltiples aplicaciones relacionadas con el Número de Oro. Una de ellas es la Espiral Logarítmica.

Para la construcción partimos desde un pequeño rectángulo áureo. Ayudándonos de arcos iremos construyendo cuadrados, que en conjunto se irán formando otros rectángulos áureos. De esta forma los arcos trazados constituyen una espiral logarítmica. Además, podemos observar cómo elementos de la serie de Fibonacci aparecen reflejados proporcionalmente a las unidades de medida que hayamos usado para la construcción de la espiral.

Cómo ya había comentado antes, la razón áurea está representada en la naturaleza. Un claro ejemplo podemos apreciar en anillas del tronco de un árbol, en conchas de algunos moluscos, incluso en el cuerpo humano, ya que en “El Hombre de Vitruvio” o “El Cuerpo Perfecto” de Da Vinci podemos apreciar la relación con la razón áurea.

Implementación en C++ Sucesión de Fibonacci

Ahora vamos a implementar en C++ el algoritmo que nos devolverá el elemento de la serie Fibonacci de un número entero n.

#include
int Fibonacci(int n)
{
int total=0;
int s1=1,s2=1;
int i=3;
int t=0;
if(n<3)
{
total=1;
} else {
while (i < = n)
{
t=s2;
s2=s1+s2;
s1=t;
i++;
}
total=s2;
}
return(total);
}

La función Fibonacci tiene cómo entrada una variable de tipo entero n, la cual indicará el elemento de la serie Fibonacci que se debe retornar. Cómo había dicho durante la explicación de la sucesión, tomamos cómo un 1 los dos primeros valores, pues para construir un elemento es necesario 2 elementos anteriores, los cuales se carece de su existencia (hablamos de números del conjunto de los enteros). Por lo tanto empezaremos el cálculo desde el elemento número 3 hasta n. Para identificar los términos anteriores utilizaremos s1 y s2. Cómo tenemos que sumar los dos elementos anteriores, al realizar una operación se modifica uno de los valores, por lo tanto en la función nos ayudamos con la variable auxiliar t, que salvará el valor del último elemento que nos servirá para asignárselo a s1, que pasará a ser el segundo anterior. De esta forma s2 será el anterior elemento y s1 el anterior del anterior elemento, o sea el segundo anterior. En s2 se irá guardando el último elemento de la serie, que cuando se salga del bucle será el resultado total. Ese mismo resultado total devuelve la función, que contiene el elemento de la serie Fibonacci que buscábamos.

Éste mismo problema se podría resolver de muchas maneras. Se podría haber hecho uso de la recursividad, aunque prefiero éste método, pues no tenemos que volver hacia atrás para nada.

Aquí está el código de la aplicación completo:

#include
int Fibonacci(int n);
int main()
{
int n=0;
int resultado=0;
scanf(”%d”,&n);
fflush(stdin);
resultado=Fibonacci(n);
printf(”El elemento %d de Fibonacci es: %d”,n,resultado);
return 0;
}
int Fibonacci(int n)
{
int total=0;
int s1=1,s2=1;
int i=3;
int t=0;
if(n<3)
{
total=1;
} else {
while (i < = n)
{
t=s2;
s2=s1+s2;
s1=t;
i++;
}
total=s2;
}
return(total);
}